თსუ-ს ილია ვეკუას სახელობის გამოყენებითი მათემატიკის ინსტიტუტის მიღწევები
გრიგორ გიორგაძე, ინსტიტუტის კომპლექსური ანალიზისა და მისი გამოყენებების განყოფილების ხელმძღვანელი, ფიზიკა-მათემატიკის მეცნიერებათა დოქტორი:
,,თბილისის სახელმწიფო უნივერსიტეტის ილია ვეკუას სახელობის გამოყენებითი მათემატიკის ინსტიტუტის კომპლექსური ანალიზისა და მისი გამოყენების განყოფილებაში კვლევები მიმდინარეობს ანალიზურ ფუნქციათა სასაზღვრო ამოცანების კონსტუქციული მეთოდების დამუშავების მიზნით.
ანალიზურ ფუნქციათა სასაზღვრო ამოცანების კვლევა ქართული მათემატიკური სკოლის ტრადიციული თემატიკაა. მატრიცული ფუნქციისათვის სასაზღვრო ამოცანების ანალიზისათვის მე-20 საუკუნის 40-იან წლებში ნიკოლოზ მუსხელიშვილმა და ნიკოლოზ ვეკუამ ერთობლივ ნაშრომში შემოიტანეს მატრიცული სასაზღვრო ამოცანის მნიშვნელოვანი ინვარიანტი – კერძო ინდექსები. შემდგომმა კვლევებმა აჩვენა, რომ კერძო ინდექსები არიან მატრიცული ფუნქციის ვინერ-ჰოპფის ფაქტორიზაციაში შემავალი დიაგონალური მატრიცის ელემენტები. მატრიცული ფუნქციის ცხადი სახით ფაქტორიზაცია გახდა მრავალი გამოყენებითი პრობლემის გადაჭრის მეთოდი, რომელსაც თანამედროვე სამეცნიერო, ტექნიკურ და კომპიუტერულ მეცნიერებებში ვინერ-ჰოპფის ტექნიკა ეწოდება.
მე-20 საუკუნის 60-იან წლებში ნათელი გახდა, რომ მატრიცული ფუნქციის ზუსტი (ანალიზური) ფაქტორიზაცია შეუძლებელია. გარდა ამისა გაირკვა, რომ მატრიცული ფუნქციის კერძო ინდექსები არამდგრადი ინვარიანტებია, საიდანაც გამომდინარეობს ფაქტორიზაციის ამოცანის მიახლოებითი გამოთვლის ზოგადი მეთოდის შეუძლებლობა. გამოიკვეთა პრობლემა ისეთი მატრიცული ფუნქციის კლასების გამოყოფისა, რომელთათვისაც შესაძლებელია ანალიზური ან მიახლოებითი ფაქტორიზაცია.
ჩვენ მიერ გადაჭრილი იქნა ეს პრობლემა უბან-უბან მუდმივი მატრიცული ფუნქციებისათვის. კერძოდ, ნაჩვენები იქნა, რომ უბან-უბან მუდმივი მატრიცული ფუნქციის ზუსტი ფაქტორიზაცია შესაძლებელია მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როდესაც ამ მატრიცული ფუნქციისაგან წარმოქმნილი გალუას დიფერენციალური ჯგუფი ამოხსნადია. გარდა ამისა, აგებული იქნა მატრიცული ფუნქციის კერძო ინდექსების გამოთვლის ალგორითმი. ამ შედეგებიდან გამომდინარეობს მატრიცულ ფუნქციათა აღნიშნული კლასისათვის ფაქტორიზაციის ამოცანის ამოხსნის მიახლოებითი ეფექტური მეთოდის არსებობა, რადგან კერძო ინდექსების გამოთვლის ალგორითმი დამოდებული არ არის მატრიცული ფუნქციის შესაბამისი დიფერენცილურ გალუას ჯგუფზე. აღნიშნული კვლევები ნაწილობრივ მხარდაჭერილია შოთა რუსთაველის ეროვნული სამეცნიერო ფონდის მიერ და ინსტიტუტის ბაზაზე ხორციელდება გამოყენებითი სახის ამოცანების კვლევა.
ზემოთ მოყვანილი შედეგის გამოყენების მიზნით სიგნალების და მართვის თეორიებში, მედიცინაში, კერძოდ, ზოგიერთი დაავადების პროგნოზირებაში და ხელოვნური ინტელექტის სისტემებში კვლევები მიმდინარეობს მსოფლიოს 28 პარტნიორ უნივერსიტეტსა და კომპანიებთან ერთად ევროკავშირის მიერ დაფინანსებული Horizon2020 გრანტის ფარგლებში. აღნიშნულ თემატიკაში უკანასკნელ პერიოდში ჩვენ განვახორციელეთ ერთობლივი კვლევები უცხოელ კოლეგებთან ერთად საფრანგეთში, შვეიცარიაში, დიდ ბრიტანეთსა და ჩინეთში. ასევე, ინსტიტუტის ახალგაზრდა მეცნიერები მიღებულ შედეგებს გააცნობენ სლოვაკ კოლეგებს ბრატისლავაში“.
. . .
თეა შავაძე, ინსტიტუტის ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებების და ოპტიმალური მართვის განყოფილების მეცნიერ-თანამშრომელი, აკადემიური დოქტორი:
,,მუშაობის პირველ ეტაპზე განხორციელდა არსებული არაწრფივი, დროით დაგვიანების მქონე დიფერენციული მოდელის დახვეწა და გამოყენება კომპიუტერული სისტემების გადატვირთვისა და შეფერხების აღწერისთვის. შემოთავაზებული მოდელური ჩარჩო მოიცავს მრავალ დაგვიანებასა და არაწრფივი სატურაციის ეფექტს, რაც საშუალებას იძლევა სისტემის რეალური დინამიკა უფრო ზუსტად აისახოს. მიღებულ იქნა ექვივალენტური პირობები წონასწორობის არსებობისა და მისი ლოკალური და გლობალური ასიმპტოტური სტაბილურობისთვის. აგრეთვე, შედგენილ იქნა შესაბამისი ლიაპუნოვ–კრასოვსკის ტიპის ფუნქციონალები, რომლებიც უზრუნველყოფენ სისტემის გამძლეობის შეფასებას სხვადასხვა დაგვიანებისა და პარამეტრების პირობებში.
კვლევის შედეგები საფუძვლად დაედო 2025 წელს დასაბეჭდად მიღებულ სტატიას On the Modeling, Analysis, and Simulation of Delay-Induced System Slowdowns and Congestion in Computing Systems (TWMS Journal of Applied and Engineering Mathematics, 2025), სადაც განხილულია დროით დაგვიანების გავლენა კომპიუტერული სისტემების გადატვირთვაზე და სტაბილურობაზე, მათ დინამიკურ ქცევასა და შესაძლო ოსცილაციურ პროცესებზე.
მიღებული შედეგები მნიშვნელოვანია როგორც თეორიული თვალსაზრისით, ისე პრაქტიკული გამოყენების კუთხით, განსაკუთრებით დროით დაგვიანების მქონე დინამიკური სისტემების თვისობრივი თეორიის განვითარებისთვის. მიღებული სტაბილურობის პირობები შესაძლებელია გამოყენებულ იქნას როგორც ბიოლოგიური, ისე საინჟინრო და კომპიუტერული სისტემების მოდელირებაში, სადაც დროით შეფერხება კრიტიკულ გავლენას ახდენს სისტემის ფუნქციონირებაზე.
ამჟამად, მიმდინარეობს ისეთი სტოქასტიკური, დაგვიანებულ არგუმენტიანი მოდელის კვლევა, რომელიც აღწერს შემთხვევითი ფაქტორების გავლენას სისტემის დინამიკაზე. ამგვარი მიდგომა საშუალებას იძლევა შეფასდეს სტოქასტიკური სტაბილურობა, საშუალო კვადრატული სტაბილურობა და სისტემის ქცევა დარღვეული პირობებისას. კვლევა მიზნად ისახავს მოდელის თეორიული ანალიზის გაღრმავებასა და რეალური მონაცემების გამოყენებით სიმულაციური დამოწმების ჩატარებას. აღნიშნული მიმართულება განსაკუთრებით აქტუალურია cloud computing-ისა და განაწილებული კომპიუტერული არქიტექტურების შესწავლისთვის, სადაც პროცესების შეფერხებები და ქსელური შეფერხებები შემთხვევითად იცვლება. მიღებული შედეგები, თავის მხრივ, ხელს უწყობს უფრო მდგრადი და ეფექტური ციფრული ინფრასტრუქტურის შექმნას”.
